题型： 解答题 难度： 一般
    （理科）定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．
    （1）求a、b的值；
    （2）若方程f(x)+

mx

1+x

=0在区间(-1，1)上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围．
    答案
    （1）由f（-x）=-f（x）得b=0
    ∴f(x)=

x

ax2+1

    又由函数f（x）的定义域为R知a≥0
    

当x≤0时，f(x)≤0 当x＞0时，f(x)= x ax2+1 ≤ x 2      ax2 = 1 2      a

    当且仅当ax2=1即x=

1 a

时f(x)取得最大值
    ∴

1 a

=-即a=1
    综上a=1，b=0…（6分）
    （2）由

x

x2+1

+

mx

x+1

=0化简得
    

x(mx2+x+m+1)=0 ∴x=0或mx2+x+m+1=0 若0是方程mx2+x+m+1=0，则m=-1 此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为x=1，不合题意

    ∴方程mx2+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．
    当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论
    ①△=0，x=

1

2m

∈(-1，1)得m=

-1-      2

2

    ②令h（x）=mx2+x+m+1则h（-1）?h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
    综上所述实数m的取值范围为(-1，0)∪{

-1-      2

2

}…（13分）
    

Q:这个文档的类型是什么？
A:这是一道数学题的解答文档，属于数学题型解析类型。
Q:函数 *f(x)=x+bax²+1* 是奇函数，能直接得出 *a*、*b* 的值吗？
A:不能直接得出，需要根据奇函数的性质 *f(-x)=-f(x)*来求解。
Q:为什么由奇函数性质能得出 *b = 0*？
A:因为对于奇函数 *f(-x)=-f(x)*，将 *f(x)=x+bax²+1* 代入可得 *f(-x)=-x+bax²+1=-f(x)=-x+bax²+1*，所以 *b = 0*。
Q:求 *a* 的值时用到了什么方法？
A:利用均值不等式 *xax²+1≤x2√ax²=12√a*，当且仅当 *ax² = 1*时取得最大值，从而求出 *a* 的值。
Q:为什么当 *x = 1√a* 时 *f(x)*取得最大值？
A:由均值不等式的性质，当且仅当条件满足时取得最值，这里 *ax² = 1*即 *x = 1√a*时满足条件。
Q:方程 *f(x)+mx1+x=0*化简后得到了什么？
A:化简后得到 *x(mx²+x+m+1)=0*。
Q:为什么 0 不能是方程 *mx²+x+m+1=0*的解？
A:若 0 是这个方程的解，则 *m = -1*，此时方程的另一根为 *x = 1*，不合题意。
Q:方程 *mx²+x+m+1=0*在区间(-1,1)上有且仅有一个非零实根有哪些情况？
A:有两种情况，一是△=0 且 *x = 12m∈(-1,1)*；二是令 *h(x)=mx²+x+m+1*，则 *h(-1)·h(1)＜0*且 *h(0)≠0*。
Q:当 *m = -1 - 2√2*时是哪种情况？
A:是△=0，*x = 12m∈(-1,1)*这种情况。
Q:实数 *m* 的取值范围为什么是(-1,0)∪{-1 - 2√2}？
A:综合两种情况的结果得到实数 *m* 的取值范围为(-1,0)∪{-1 - 2√2}。