题型： 解答题 难度： 简单
    已知
    (Ⅰ)若,求的表达式；
    （Ⅱ）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式；
    （Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围.
    答案
    （1）f（x）=sin2x+2sinx
    （2）g(x)= -sin2x+2sinx
    (3) .
    解析
    试题分析：（1）
    =2+sinx-C.os2x-1+sinx=sin2x+2sinx
    （2）设函数y="f" (x)的图象上任一点M(x0,y0)关于原点的对称点为N（x,y）
    则x0= -x,y0= -y
    ∵点M在函数y="f" (x)的图象上
    ,即y= -sin2x+2sinx
    ∴函数g(x)的解析式为g(x)= -sin2x+2sinx
    (3)设sinx=t,(-1≤t≤1)
    则有
    ①当时，h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1
    ②当时，对称轴方程为直线.
    ) 时，，解得
    )当时，,解得
    综上，.
    点评：典型题，本题较好地把向量、三角函数、二次函数结合在一起进行考查，体现了高考考查的重点，本题运用了换元思想，也很好地运用了转化与化归思想。
    

Q:本题的题型和难度分别是什么？
A:题型是解答题，难度为简单。
Q:（Ⅰ）中`f(x)`的表达式是什么？
A:`f(x)=sin2x + 2sinx`。
Q:（Ⅱ）中函数`g(x)`的解析式是如何得出的？
A:设函数`y = f(x)`的图象上任一点`M(x_0,y_0)`关于原点的对称点为`N(x,y)`，则`x_0 = -x`，`y_0 = -y`。因为点`M`在函数`y = f(x)`的图象上，经过推导得出`y = -sin2x + 2sinx`，所以函数`g(x)`的解析式为`g(x)=-sin2x + 2sinx`。
Q:（Ⅲ）中求实数`λ`取值范围时用到了什么方法？
A:用到了换元思想，设`sin x = t`，`( -1≤t≤1)` ，将问题转化为关于`t`的二次函数问题来求解。
Q:在求`f(x)`表达式时是如何进行计算的？
A:`f(x)=2 + sin x - cos2x - 1 + sin x`，根据三角函数公式化简得到`f(x)=sin2x + 2sinx`。
Q:求函数`g(x)`解析式时，关于原点对称的点的坐标关系是什么？
A:设函数`y = f(x)`的图象上任一点`M(x_0,y_0)`关于原点的对称点为`N(x,y)`，则`x_0 = -x`，`y_0 = -y`。
Q:在（Ⅲ）中，当`λ = -1`时，函数`h(t)`的情况是怎样的？
A:当`λ = -1`时，`h(t)=4t + 1`在`[-1,1]`上是增函数。
Q:（Ⅲ）中对称轴方程是如何得到的，其表达式是什么？
A:对于二次函数`h(t)`（设`h(t)=at^2 + bt + c`形式），对称轴方程为`t = -frac{b}{2a}`，本题中对称轴方程为直线`t = -frac{λ + 1}{2}`。
Q:本题体现了高考考查的哪些重点？
A:本题较好地把向量、三角函数、二次函数结合在一起进行考查，体现了高考考查的重点，还运用了换元思想以及转化与化归思想。
Q:在求实数`λ`取值范围时，分了哪几种情况讨论？
A:分了两种情况讨论，①当`λ = -1`时，`h(t)=4t + 1`在`[-1,1]`上是增函数；②当`λ ≠ -1`时，根据对称轴与区间`[-1,1]`的位置关系分情况讨论，分别求出`λ`的取值范围，最后综合得出结果。