题型： 解答题 难度： 简单
    （12分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.
    （1）求证：FM1⊥FN1；
    （2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、、，试判断S=4是否成立，并证明你的结论.
    答案
    （1）略
    （2）略
    解析
    （1）证法一：由抛物线的定义得|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|.
    ∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F.
    如图，设准线l与x轴的交点为F1.
    ∵MM1∥NN1∥FF1，
    ∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F.
    而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠NFN1=180o，
    即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180o，
    ∴∠F1FM1+∠F1FN1=90o，
    即∠M1FN1=90o，故FM1⊥FN1.
    证法二：依题意，焦点为F(,0)，准线l的方程为x=－.
    设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为x=my+,则有M1(－,y1)，N1(－,y2)，=(－p,y1), =(－p,y2).
    由
    于是，y1+y2=2mp，y1y2=－p2.
    ∴・=p2+y1y2=p2－p2=0，故FM1⊥FN1.
    （2）S=4S1S3成立，证明如下：
    证法一：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
    直线l与x轴的交点为F1，则由抛物线的定义得
    |MM1|=|MF|=x1+, |NN1|=|NF|=x2+. 于是
    S1=・|MM1|・|F1M1|=(x1+)|y1|，
    S2=・|M1N1|・|FF1|=p|y1－y2|，
    S3=・|NN1|・|F1N1|=(x2+)|y2|，
    ∵S=4S1S3(p|y1－y2|)2
    =4×(x1+)|y1|・(x2+)・|y2|p2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+(x1+x2)+]・|y1y2|.
    将与代入上式化简可得
    p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立. 故S=4S1S3成立.