福建省福州市部分学校2025届高三上学期元月联考数学试题（解析版）
# 选择题解析
## 1. 已知集合\(A = \{x|x^2 - 2x - 3 \leq 0\}\)，\(B = \{x|y = \ln(2 - x)\}\)，则\(A \cap B =\)（ ）
A. \([-1, 2)\) B. \((-1, 2)\) C. \([1, 2)\) D. \((-1, 2]\)
**解题思路**：
先求解集合\(A\)，对于不等式\(x^2 - 2x - 3 \leq 0\)，因式分解得\((x - 3)(x + 1) \leq 0\)，则其解为\(-1 \leq x \leq 3\)，所以\(A = [-1, 3]\)。
再看集合\(B\)，根据对数函数的定义域，\(2 - x > 0\)，即\(x < 2\)，所以\(B = (-\infty, 2)\)。
那么\(A \cap B = [-1, 2)\)。
**选项分析**：
- A选项：\([-1, 2)\)，通过上述计算，\(A \cap B\)确实是\([-1, 2)\)，该选项正确。
- B选项：\((-1, 2)\)，少了端点\(-1\)，所以该选项错误。
- C选项：\([1, 2)\)，集合\(A\)的下限是\(-1\)，不是\(1\)，该选项错误。
- D选项：\((-1, 2]\)，集合\(B\)不包含\(2\)，该选项错误。
## 2. 若\(z = \frac{1 + 2i}{1 - i}\)，则\(|z| =\)（ ）
A. \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\frac{5}{2}\) D. \(\frac{\sqrt{10}}{4}\)
**解题思路**：
先对\(z = \frac{1 + 2i}{1 - i}\)进行化简，分子分母同时乘以\(1 + i\)，得到\(z = \frac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i + 2i + 2i^2}{2} = \frac{-1 + 3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)。
然后根据复数的模的计算公式\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)（这里\(a = -\frac{1}{2}\)，\(b = \frac{3}{2}\)），可得\(|z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1 + 9}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)。
**选项分析**：
- A选项：\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(\frac{5}{2}\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(\frac{\sqrt{10}}{4}\)，计算错误，该选项错误。
## 3. 已知\(a = \log_2 0.3\)，\(b = 2^{0.1}\)，\(c = 0.2^{1.3}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（ ）
A. \(a < b < c\) B. \(a < c < b\) C. \(c < a < b\) D. \(b < c < a\)
**解题思路**：
对于\(a = \log_2 0.3\)，因为对数函数\(y = \log_2 x\)在\((0, +\infty)\)上单调递增，且\(0.3 < 1\)，所以\(\log_2 0.3 < \log_2 1 = 0\)，即\(a < 0\)。
对于\(b = 2^{0.1}\)，指数函数\(y = 2^x\)在\(R\)上单调递增，且\(0.1 > 0\)，所以\(2^{0.1} > 2^0 = 1\)，即\(b > 1\)。
对于\(c = 0.2^{1.3}\)，指数函数\(y = 0.2^x\)在\(R\)上单调递减，且\(1.3 > 0\)，所以\(0 < 0.2^{1.3} < 0.2^0 = 1\)，即\(0 < c < 1\)。
综上可得\(a < c < b\)。
**选项分析**：
- A选项：\(a < b < c\)，顺序错误，该选项错误。
- B选项：\(a < c < b\)，符合计算结果，该选项正确。
- C选项：\(c < a < b\)，顺序错误，该选项错误。
- D选项：\(b < c < a\)，顺序错误，该选项错误。
## 4. 函数\(f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6})(\omega > 0)\)的最小正周期为\(\pi\)，则\(f(x)\)的图象（ ）
A. 关于直线\(x = \frac{\pi}{12}\)对称 B. 关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称
C. 关于点\((\frac{\pi}{12}, 0)\)对称 D. 关于点\((\frac{\pi}{6}, 0)\)对称
**解题思路**：
已知函数\(f(x)\)的最小正周期\(T = \pi\)，根据正弦函数最小正周期公式\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)，可得\(\omega = 2\)，则\(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})\)。
对于正弦函数\(y = \sin x\)，其对称轴方程为\(x = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in Z)\)，令\(2x + \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{2}\)，解得\(x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{6}(k \in Z)\)，当\(k = 0\)时，\(x = \frac{\pi}{6}\)，所以\(f(x)\)的图象关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称，B选项正确。
其对称中心的横坐标满足\(2x + \frac{\pi}{6} = k\pi(k \in Z)\)，解得\(x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}(k \in Z)\)，所以\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, 0)(k \in Z)\)对称，A、C、D选项错误。
**选项分析**：
- A选项：关于直线\(x = \frac{\pi}{12}\)对称，计算错误，该选项错误。
- B选项：关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称，符合计算结果，该选项正确。
- C选项：关于点\((\frac{\pi}{12}, 0)\)对称，计算错误，该选项错误。
- D选项：关于点\((\frac{\pi}{6}, 0)\)对称，计算错误，该选项错误。
## 5. 已知向量\(\vec{a} = (1, -2)\)，\(\vec{b} = (m, 4)\)，且\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，则\(\vec{a} \cdot \vec{b} =\)（ ）
A. \(-10\) B. \(-8\) C. \(6\) D. \(4\)
**解题思路**：
因为\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，根据两向量平行的坐标关系，若\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)平行，则\(x_1y_2 - x_2y_1 = 0\)，所以\(1\times4 - (-2)\times m = 0\)，解得\(m = -2\)。
则\(\vec{b} = (-2, 4)\)，那么\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times(-2) + (-2)\times4 = -2 - 8 = -10\)。
**选项分析**：
- A选项：\(-10\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(-8\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(6\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(4\)，计算错误，该选项错误。
## 6. 已知\(m\)，\(n\)是两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若\(m \parallel \alpha\)，\(n \parallel \alpha\)，则\(m \parallel n\)
B. 若\(m \parallel \alpha\)，\(m \parallel \beta\)，则\(\alpha \parallel \beta\)
C. 若\(m \perp \alpha\)，\(n \perp \alpha\)，则\(m \parallel n\)
D. 若\(m \perp \alpha\)，\(m \perp \beta\)，则\(\alpha \perp \beta\)
**解题思路**：
- A选项：若\(m \parallel \alpha\)，\(n \parallel \alpha\)，则\(m\)与\(n\)可能平行、相交或异面，该选项错误。
- B选项：若\(m \parallel \alpha\)，\(m \parallel \beta\)，则\(\alpha\)与\(\beta\)可能平行或相交，该选项错误。
- C选项：若\(m \perp \alpha\)，\(n \perp \alpha\)，根据线面垂直的性质定理，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以\(m \parallel n\)，该选项正确。
- D选项：若\(m \perp \alpha\)，\(m \perp \beta\)，根据线面垂直的性质，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以\(\alpha \parallel \beta\)，该选项错误。
**选项分析**：
- A选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
- B选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
- C选项：命题正确，符合定理，该选项正确。
- D选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
## 7. 已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a + b = 1\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为（ ）
A. \(4\) B. \(5\) C. \(6\) D. \(8\)
**解题思路**：
因为\(a + b = 1\)，且\(a > 0\)，\(b > 0\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(a + b) = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}\)。
根据基本不等式\(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} = 2\)（当且仅当\(a = b\)时取等号），所以\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 + 2 = 4\)，即\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为\(4\)。
**选项分析**：
- A选项：\(4\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(5\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(6\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(8\)，计算错误，该选项错误。
## 8. 已知函数\(f(x) = \begin{cases}x^2 + 1, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0\end{cases}\)，则满足不等式\(f(1 - x^2) > f(2x)\)的\(x\)的取值范围是（ ）
A. \((-1, \sqrt{2} - 1)\) B. \((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} - 1, +\infty)\)
C. \((-1, \sqrt{2} + 1)\) D. \((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} + 1, +\infty)\)
**解题思路**：
当\(x \geq 0\)时，\(f(x) = x^2 + 1\)单调递增。
要满足\(f(1 - x^2) > f(2x)\)，则有两种情况：
情况一：\(\begin{cases}1 - x^2 > 2x \\ 1 - x^2 \geq 0\end{cases}\)，
由\(1 - x^2 > 2x\)得\(x^2 + 2x - 1 < 0\)，解得\(-1 - \sqrt{2} < x < -1 + \sqrt{2}\)，
结合\(1 - x^2 \geq 0\)即\(-1 \leq x \leq 1\)，所以\(-1 \leq x < -1 + \sqrt{2}\)。
情况二：\(\begin{cases}2x < 0 \\ 1 - x^2 > 0\end{cases}\)，
由\(2x < 0\)得\(x < 0\)，由\(1 - x^2 > 0\)得\(-1 < x < 1\)，所以\(-1 < x < 0\)。
综上，\(x\)的取值范围是\((-1, \sqrt{2} - 1)\)。
**选项分析**：
- A选项：\((-1, \sqrt{2} - 1)\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} - 1, +\infty)\)，范围错误，该选项错误。
- C选项：\((-1, \sqrt{2} + 1)\)，范围错误，该选项错误。
- D选项：\((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} + 1, +\infty)\)，范围错误，该选项错误。
# 填空题与解答题要点
## 填空题
1. **题目 1**：已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax - 5$在区间$[-1,2]$上不单调，则实数$a$的取值范围是____。
- **关键步骤**：函数不单调意味着其导数$f^\prime(x)$在区间$[-1,2]$内有正有负。先求$f^\prime(x)=x^2 - 2x + a$，其对称轴为$x = 1$。要使$f(x)$不单调，则$f^\prime(x)$在$[-1,2]$上的最小值小于 0。
- **易错点**：容易只考虑$f^\prime(-1)$或$f^\prime(2)$其中一个端点值，忽略了对称轴处的值。同时，在求解不等式时要注意计算准确。
2. **题目 2**：若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，且$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\parallel(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，则$x$的值为____。
- **关键步骤**：先分别计算出$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1 + 2x,4)$，$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2 - x,3)$。因为两向量平行，根据向量平行的坐标关系可得$3(1 + 2x)-4(2 - x)=0$。
- **易错点**：在计算向量坐标运算时要仔细，避免出现计算错误。同时，对于向量平行的坐标公式要牢记，不要混淆。
## 解答题
1. **题目 1**：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1}=2a_n + 1$。
- **考察重点**：主要考察数列的递推关系以及通过递推关系求数列的通项公式。
- **解题方向**：通过对递推式进行变形，构造一个新的等比数列，从而求出通项公式。
- **规范步骤**：由$a_{n + 1}=2a_n + 1$可得$a_{n + 1}+1 = 2(a_n + 1)$，则数列$\{a_n + 1\}$是以$a_1 + 1 = 2$为首项，2 为公比的等比数列。所以$a_n + 1 = 2\times2^{n - 1}=2^n$，即$a_n = 2^n - 1$。
2. **题目 2**：在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$b = 3$，$c = \sqrt{3}$，$B = \frac{\pi}{3}$。
- **考察重点**：考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。
- **解题方向**：可先用正弦定理求出角$C$，再根据三角形内角和求出角$A$，最后用余弦定理求出边$a$。
- **规范步骤**：由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{1}{2}$。因为$c\lt b$，所以$C\lt B$，则$C=\frac{\pi}{6}$。那么$A=\pi - B - C=\frac{\pi}{2}$。再由余弦定理$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$，即$9 = a^2 + 3 - 2a\times\sqrt{3}\times\frac{1}{2}$，化简得$a^2-\sqrt{3}a - 6 = 0$，解得$a = 2\sqrt{3}$。
《福建省福州市部分学校2025届高三上学期元月联考数学试题整体总结》
这份试卷整体难度适中，具有较好的区分度。
从知识点覆盖情况来看，涵盖了函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等高中数学的核心板块。其中，函数与导数部分占比较大，重点考察了函数的性质、导数的应用等知识点，如函数的单调性、极值、最值以及利用导数求解函数的切线方程等。三角函数部分则涉及到三角函数的图象与性质、三角恒等变换等内容。数列部分主要考查了数列的通项公式、求和公式以及数列的递推关系。立体几何部分侧重于空间几何体的结构特征、空间线面关系的证明与计算。解析几何部分重点考察了直线与圆锥曲线的位置关系。
在命题规律和趋势方面，注重对基础知识的综合运用和数学思想方法的考查。例如，在多道题目中都渗透了分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等。同时，题目设置具有一定的灵活性和创新性，要求学生能够灵活运用所学知识解决问题。
重点考察的知识点包括函数的单调性与导数的结合、数列的通项与求和、立体几何中的垂直和平行关系证明以及解析几何中的直线与圆锥曲线问题等。这些知识点是学生需要重点掌握和熟练运用的。
学生容易丢分的知识点主要集中在一些综合性较强的题目上，如函数与导数的综合应用、数列与不等式的结合以及解析几何中复杂的计算等。这些题目需要学生具备较强的逻辑思维能力和运算能力。
复习建议和备考策略如下：首先，要扎实掌握基础知识，构建完整的知识体系。对于重点知识点要进行深入理解和反复练习。其次，注重数学思想方法的培养，通过做一些综合性的题目来提高自己的解题能力和思维能力。再者，要加强运算能力的训练，提高计算的准确性和速度。最后，要进行限时模拟训练，熟悉考试题型和节奏，提高应试能力。通过有针对性的复习和备考，学生能够更好地应对此类考试，提高数学成绩。
## 1. 已知集合\(A = \{x|x^2 - 2x - 3 \leq 0\}\)，\(B = \{x|y = \ln(2 - x)\}\)，则\(A \cap B =\)（ ）
A. \([-1, 2)\) B. \((-1, 2)\) C. \([1, 2)\) D. \((-1, 2]\)
**解题思路**：
先求解集合\(A\)，对于不等式\(x^2 - 2x - 3 \leq 0\)，因式分解得\((x - 3)(x + 1) \leq 0\)，则其解为\(-1 \leq x \leq 3\)，所以\(A = [-1, 3]\)。
再看集合\(B\)，根据对数函数的定义域，\(2 - x > 0\)，即\(x < 2\)，所以\(B = (-\infty, 2)\)。
那么\(A \cap B = [-1, 2)\)。
**选项分析**：
- A选项：\([-1, 2)\)，通过上述计算，\(A \cap B\)确实是\([-1, 2)\)，该选项正确。
- B选项：\((-1, 2)\)，少了端点\(-1\)，所以该选项错误。
- C选项：\([1, 2)\)，集合\(A\)的下限是\(-1\)，不是\(1\)，该选项错误。
- D选项：\((-1, 2]\)，集合\(B\)不包含\(2\)，该选项错误。
## 2. 若\(z = \frac{1 + 2i}{1 - i}\)，则\(|z| =\)（ ）
A. \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\frac{5}{2}\) D. \(\frac{\sqrt{10}}{4}\)
**解题思路**：
先对\(z = \frac{1 + 2i}{1 - i}\)进行化简，分子分母同时乘以\(1 + i\)，得到\(z = \frac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i + 2i + 2i^2}{2} = \frac{-1 + 3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)。
然后根据复数的模的计算公式\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)（这里\(a = -\frac{1}{2}\)，\(b = \frac{3}{2}\)），可得\(|z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{1 + 9}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)。
**选项分析**：
- A选项：\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(\frac{5}{2}\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(\frac{\sqrt{10}}{4}\)，计算错误，该选项错误。
## 3. 已知\(a = \log_2 0.3\)，\(b = 2^{0.1}\)，\(c = 0.2^{1.3}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（ ）
A. \(a < b < c\) B. \(a < c < b\) C. \(c < a < b\) D. \(b < c < a\)
**解题思路**：
对于\(a = \log_2 0.3\)，因为对数函数\(y = \log_2 x\)在\((0, +\infty)\)上单调递增，且\(0.3 < 1\)，所以\(\log_2 0.3 < \log_2 1 = 0\)，即\(a < 0\)。
对于\(b = 2^{0.1}\)，指数函数\(y = 2^x\)在\(R\)上单调递增，且\(0.1 > 0\)，所以\(2^{0.1} > 2^0 = 1\)，即\(b > 1\)。
对于\(c = 0.2^{1.3}\)，指数函数\(y = 0.2^x\)在\(R\)上单调递减，且\(1.3 > 0\)，所以\(0 < 0.2^{1.3} < 0.2^0 = 1\)，即\(0 < c < 1\)。
综上可得\(a < c < b\)。
**选项分析**：
- A选项：\(a < b < c\)，顺序错误，该选项错误。
- B选项：\(a < c < b\)，符合计算结果，该选项正确。
- C选项：\(c < a < b\)，顺序错误，该选项错误。
- D选项：\(b < c < a\)，顺序错误，该选项错误。
## 4. 函数\(f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6})(\omega > 0)\)的最小正周期为\(\pi\)，则\(f(x)\)的图象（ ）
A. 关于直线\(x = \frac{\pi}{12}\)对称 B. 关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称
C. 关于点\((\frac{\pi}{12}, 0)\)对称 D. 关于点\((\frac{\pi}{6}, 0)\)对称
**解题思路**：
已知函数\(f(x)\)的最小正周期\(T = \pi\)，根据正弦函数最小正周期公式\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)，可得\(\omega = 2\)，则\(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})\)。
对于正弦函数\(y = \sin x\)，其对称轴方程为\(x = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in Z)\)，令\(2x + \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{2}\)，解得\(x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{6}(k \in Z)\)，当\(k = 0\)时，\(x = \frac{\pi}{6}\)，所以\(f(x)\)的图象关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称，B选项正确。
其对称中心的横坐标满足\(2x + \frac{\pi}{6} = k\pi(k \in Z)\)，解得\(x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}(k \in Z)\)，所以\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, 0)(k \in Z)\)对称，A、C、D选项错误。
**选项分析**：
- A选项：关于直线\(x = \frac{\pi}{12}\)对称，计算错误，该选项错误。
- B选项：关于直线\(x = \frac{\pi}{6}\)对称，符合计算结果，该选项正确。
- C选项：关于点\((\frac{\pi}{12}, 0)\)对称，计算错误，该选项错误。
- D选项：关于点\((\frac{\pi}{6}, 0)\)对称，计算错误，该选项错误。
## 5. 已知向量\(\vec{a} = (1, -2)\)，\(\vec{b} = (m, 4)\)，且\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，则\(\vec{a} \cdot \vec{b} =\)（ ）
A. \(-10\) B. \(-8\) C. \(6\) D. \(4\)
**解题思路**：
因为\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，根据两向量平行的坐标关系，若\(\vec{a} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2)\)平行，则\(x_1y_2 - x_2y_1 = 0\)，所以\(1\times4 - (-2)\times m = 0\)，解得\(m = -2\)。
则\(\vec{b} = (-2, 4)\)，那么\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times(-2) + (-2)\times4 = -2 - 8 = -10\)。
**选项分析**：
- A选项：\(-10\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(-8\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(6\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(4\)，计算错误，该选项错误。
## 6. 已知\(m\)，\(n\)是两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若\(m \parallel \alpha\)，\(n \parallel \alpha\)，则\(m \parallel n\)
B. 若\(m \parallel \alpha\)，\(m \parallel \beta\)，则\(\alpha \parallel \beta\)
C. 若\(m \perp \alpha\)，\(n \perp \alpha\)，则\(m \parallel n\)
D. 若\(m \perp \alpha\)，\(m \perp \beta\)，则\(\alpha \perp \beta\)
**解题思路**：
- A选项：若\(m \parallel \alpha\)，\(n \parallel \alpha\)，则\(m\)与\(n\)可能平行、相交或异面，该选项错误。
- B选项：若\(m \parallel \alpha\)，\(m \parallel \beta\)，则\(\alpha\)与\(\beta\)可能平行或相交，该选项错误。
- C选项：若\(m \perp \alpha\)，\(n \perp \alpha\)，根据线面垂直的性质定理，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以\(m \parallel n\)，该选项正确。
- D选项：若\(m \perp \alpha\)，\(m \perp \beta\)，根据线面垂直的性质，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以\(\alpha \parallel \beta\)，该选项错误。
**选项分析**：
- A选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
- B选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
- C选项：命题正确，符合定理，该选项正确。
- D选项：命题错误，如上述分析，该选项错误。
## 7. 已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a + b = 1\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为（ ）
A. \(4\) B. \(5\) C. \(6\) D. \(8\)
**解题思路**：
因为\(a + b = 1\)，且\(a > 0\)，\(b > 0\)，则\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(a + b) = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}\)。
根据基本不等式\(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} = 2\)（当且仅当\(a = b\)时取等号），所以\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 + 2 = 4\)，即\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值为\(4\)。
**选项分析**：
- A选项：\(4\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\(5\)，计算错误，该选项错误。
- C选项：\(6\)，计算错误，该选项错误。
- D选项：\(8\)，计算错误，该选项错误。
## 8. 已知函数\(f(x) = \begin{cases}x^2 + 1, & x \geq 0 \\ 1, & x < 0\end{cases}\)，则满足不等式\(f(1 - x^2) > f(2x)\)的\(x\)的取值范围是（ ）
A. \((-1, \sqrt{2} - 1)\) B. \((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} - 1, +\infty)\)
C. \((-1, \sqrt{2} + 1)\) D. \((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} + 1, +\infty)\)
**解题思路**：
当\(x \geq 0\)时，\(f(x) = x^2 + 1\)单调递增。
要满足\(f(1 - x^2) > f(2x)\)，则有两种情况：
情况一：\(\begin{cases}1 - x^2 > 2x \\ 1 - x^2 \geq 0\end{cases}\)，
由\(1 - x^2 > 2x\)得\(x^2 + 2x - 1 < 0\)，解得\(-1 - \sqrt{2} < x < -1 + \sqrt{2}\)，
结合\(1 - x^2 \geq 0\)即\(-1 \leq x \leq 1\)，所以\(-1 \leq x < -1 + \sqrt{2}\)。
情况二：\(\begin{cases}2x < 0 \\ 1 - x^2 > 0\end{cases}\)，
由\(2x < 0\)得\(x < 0\)，由\(1 - x^2 > 0\)得\(-1 < x < 1\)，所以\(-1 < x < 0\)。
综上，\(x\)的取值范围是\((-1, \sqrt{2} - 1)\)。
**选项分析**：
- A选项：\((-1, \sqrt{2} - 1)\)，与计算结果一致，该选项正确。
- B选项：\((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} - 1, +\infty)\)，范围错误，该选项错误。
- C选项：\((-1, \sqrt{2} + 1)\)，范围错误，该选项错误。
- D选项：\((-\infty, -1) \cup (\sqrt{2} + 1, +\infty)\)，范围错误，该选项错误。
# 填空题与解答题要点
## 填空题
1. **题目 1**：已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax - 5$在区间$[-1,2]$上不单调，则实数$a$的取值范围是____。
- **关键步骤**：函数不单调意味着其导数$f^\prime(x)$在区间$[-1,2]$内有正有负。先求$f^\prime(x)=x^2 - 2x + a$，其对称轴为$x = 1$。要使$f(x)$不单调，则$f^\prime(x)$在$[-1,2]$上的最小值小于 0。
- **易错点**：容易只考虑$f^\prime(-1)$或$f^\prime(2)$其中一个端点值，忽略了对称轴处的值。同时，在求解不等式时要注意计算准确。
2. **题目 2**：若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，且$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\parallel(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$，则$x$的值为____。
- **关键步骤**：先分别计算出$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1 + 2x,4)$，$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2 - x,3)$。因为两向量平行，根据向量平行的坐标关系可得$3(1 + 2x)-4(2 - x)=0$。
- **易错点**：在计算向量坐标运算时要仔细，避免出现计算错误。同时，对于向量平行的坐标公式要牢记，不要混淆。
## 解答题
1. **题目 1**：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1}=2a_n + 1$。
- **考察重点**：主要考察数列的递推关系以及通过递推关系求数列的通项公式。
- **解题方向**：通过对递推式进行变形，构造一个新的等比数列，从而求出通项公式。
- **规范步骤**：由$a_{n + 1}=2a_n + 1$可得$a_{n + 1}+1 = 2(a_n + 1)$，则数列$\{a_n + 1\}$是以$a_1 + 1 = 2$为首项，2 为公比的等比数列。所以$a_n + 1 = 2\times2^{n - 1}=2^n$，即$a_n = 2^n - 1$。
2. **题目 2**：在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$b = 3$，$c = \sqrt{3}$，$B = \frac{\pi}{3}$。
- **考察重点**：考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。
- **解题方向**：可先用正弦定理求出角$C$，再根据三角形内角和求出角$A$，最后用余弦定理求出边$a$。
- **规范步骤**：由正弦定理$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{1}{2}$。因为$c\lt b$，所以$C\lt B$，则$C=\frac{\pi}{6}$。那么$A=\pi - B - C=\frac{\pi}{2}$。再由余弦定理$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$，即$9 = a^2 + 3 - 2a\times\sqrt{3}\times\frac{1}{2}$，化简得$a^2-\sqrt{3}a - 6 = 0$，解得$a = 2\sqrt{3}$。
《福建省福州市部分学校2025届高三上学期元月联考数学试题整体总结》
这份试卷整体难度适中，具有较好的区分度。
从知识点覆盖情况来看，涵盖了函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等高中数学的核心板块。其中，函数与导数部分占比较大，重点考察了函数的性质、导数的应用等知识点，如函数的单调性、极值、最值以及利用导数求解函数的切线方程等。三角函数部分则涉及到三角函数的图象与性质、三角恒等变换等内容。数列部分主要考查了数列的通项公式、求和公式以及数列的递推关系。立体几何部分侧重于空间几何体的结构特征、空间线面关系的证明与计算。解析几何部分重点考察了直线与圆锥曲线的位置关系。
在命题规律和趋势方面，注重对基础知识的综合运用和数学思想方法的考查。例如，在多道题目中都渗透了分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等。同时，题目设置具有一定的灵活性和创新性，要求学生能够灵活运用所学知识解决问题。
重点考察的知识点包括函数的单调性与导数的结合、数列的通项与求和、立体几何中的垂直和平行关系证明以及解析几何中的直线与圆锥曲线问题等。这些知识点是学生需要重点掌握和熟练运用的。
学生容易丢分的知识点主要集中在一些综合性较强的题目上，如函数与导数的综合应用、数列与不等式的结合以及解析几何中复杂的计算等。这些题目需要学生具备较强的逻辑思维能力和运算能力。
复习建议和备考策略如下：首先，要扎实掌握基础知识，构建完整的知识体系。对于重点知识点要进行深入理解和反复练习。其次，注重数学思想方法的培养，通过做一些综合性的题目来提高自己的解题能力和思维能力。再者，要加强运算能力的训练，提高计算的准确性和速度。最后，要进行限时模拟训练，熟悉考试题型和节奏，提高应试能力。通过有针对性的复习和备考，学生能够更好地应对此类考试，提高数学成绩。
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